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利用二次函数解决最大面积(最值)问题知识点

利用二次函数解决最大面积(最值)问题知识点视频解析

利用二次函数解决最大面积(最值)问题知识点讲义

在平面几何图形的实际问题中,常常需要研究在什么条件下,面积最大(或最小)等存在或最优化问题.若根据图形的特征列出的面积的计算公式是二次函数,则此问题就属于二次函数的最值问题.

1.利用二次函数解决最值问题的一般步骤

(1)列:分析几何图形的特点,设出自变量x,根据题中两个变量之间的关系列出二次函数表达式;

(2)求:利用公式法或配方法求出其最大(小)值;

(3)写:结合相关问题写出结果.

2.“求最大面积”问题的求解思路

首先要分析几何图形,求得两个变量(其中一个变量为图形的面积)之间的二次函数关系式,然后利用二次函数的性质求最大面积.

“求最大面积”的问题是代数、几何的综合题,涉及的图形有三角形、平行四边形、矩形、菱形、梯形、正方形等.

注意:

(1)从几何图形中建立函数关系,主要运用相似三角形的性质定理、勾股定理、几何图形的面积公式等建立量与量之间的函数关系.

(2)在有些几何图形中,可以建立合理且便于解题的直角坐标系,设出符合题意的关系式,把图象中的点代入关系式中,求出函数关系式.

(3)求复杂几何图形的面积时,可用割补法求解.

(4)在解决实际问题时,自变量往往不能取所有的实数,所以在解答函数应用题的过程中,无论题目是否要求,在写函数关系式时,必须将自变量的取值范围用括号附在所求的函数关系式后面.

知识拓展:求二次函数的最值:

(1)求当自变量x取全体实数时二次函数的最值.

如果自变量的取值范围是全体实数,那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在顶点处取得最大(或最小)值.

①配方法:通过配方,将二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化为顶点式y=a(x-h)2+k.若a>0,则当x=h时,y最小值=k;若a<0,则当x=h时,y最大值=k.

②公式法:直接利用顶点坐标公式。当x=- b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a.

(2)求当自变量x在某一确定范围内取值时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值.

如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2,那么首先要看- b/2a是否在自变量的取值范围内.若在此范围内,则当x=- b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a;若不在此范围内,则需考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性,如果在此范围内,y随x的增大而

增大,则当x=x2时,y最大值=ax22+bx2+c,当x=x1时,y最小值=ax12+bx1+c;如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=x1时,y最大值=ax12+bx1+c,当x=x2时,y最小值=ax22+bx2+c.

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