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如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线AC与BD相交于点O,M、N分别是边AC、BD的中点.

(1)求证:MN⊥BD;

(2)当∠BCA=15°,AC=10cm,OB=OM时,求MN的长.

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  • 考点:

    直角三角形斜边上的中线;三角形的外角性质;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形.

  • 专题:

    计算题.

  • 分析:

    (1)连接BM、DM,根据直角三角形斜边上 的中线的性质求出BM=DM,根据等腰三角形性质求出即可;

    (2)根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠BMN=30°,求出∠NBM=30°,求BM,根据直角三角形的性质求出即可.

  • 解答:

    (1)证明:连接BM、DM.

    ∵∠ABC=∠ADC=90°,点M、点N分别是边AC、想BD的中点,

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    ∵N是BD的中点,

    ∴MN是BD的垂直平分线,

    ∴MN⊥BD.


    (2)解:∵∠BCA=15°,1497085486115712.jpg

    ∴∠BCA=∠CBM=15°,

    ∴∠BMA=30°,

    ∵OB=OM,

    ∴∠OBM=∠BMA=30°,

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    ∴BM=5,

    在Rt△BMN中,∠BNM=90°,∠NBM=30°,

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    答:MN的长是2.5.

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  • 点评:

    本题主要考查对三角形的外角性质,直角三角形斜边上中线的性质,含30度角的直角三角形性质,等腰三角形性质等知识点的理解和掌握,能求出∠MBN和BM的长是解此题的关键.